Algorlthm gosslp:八皇后问题浅谈

八皇后

8*8的棋盘上放八个皇后棋子，要求在纵行，竖行和斜行的八个方向上都不能有两个以上的皇后。1970和1971年，E.W.Dijkstra与N.Wirth曾用这个问题讲解程序设计技巧，淡然，像我这码农级程序员很难理解怎样应用到程序设计技巧中，现阶段只管理解问题的解决方法。

八皇后问题主要使用递归求解，然而如何减少递归次数呢？

在每次递归时，不必要所有的都检查过，例如若某列检查过，该列的其他格子就不在检查了，这个方法称为分支修剪。

程序中风别在横竖八个地方和斜方向15个地方做了标记，若有皇后则递归返回。本人觉得斜方向的标记控制和递归的调用时问题的精华。

C语言实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 8

int column[N+1];
int rup[2*N+1];
int lup[2*N+1];
int queen[N+1]={0};
int num;

void backtrack(int);

int main(void){
	int i;
	num = 0;

  	for(i=1;i<=N;i++)

		column[i] = 1;
	for(i=1;i<=2*N;i++)
		rup[i] = lup[i] =1;
	backtrack(1);
	return 0;
}

void showAnswer(){
	int x,y;
	printf("\n解答%d\n",++num);
	for(y=1;y<=N;y++){
		for(x=1;x<=N;x++){
			if(queen[y]==x){
				printf(" Q");
			}else{
				printf(" .");
			}
		}
		printf("\n");
	}
}

void backtrack(int i){
	int j;

	if(i>N){
		showAnswer();
	}else{
		for(j= 1;j<=N;j++){
			if(column[j] == 1&&lup[i-j+N] == 1){
				queen[i] = j;
				column[j] = rup[i+j] = lup[i-j+N] = 0;
				backtrack(i+1);
				column[j] = rup[i+j] = lup[i-j+N] = 1;
			}
		}
	}
}

问题描述：

八皇后问题是大数学家高斯于1850年提出来的。该问题是在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得没有一个皇后能“吃掉”任何其他一个皇后，即没有任何两个皇后被放置在棋盘的同一行、同一列或同一斜线上。

要求：

编一个程序求出该问题的所有解。

算法思想：

回溯法

使用回溯算法求解的问题特征，求解问题要分为若干步，且每一步都有几种可能的选择，而且往往在某个选择不成功时需要回头再试另外一种选择，如果到达求解目标则每一步的选择构成了问题的解，如果回头到第一步且没有新的选择则问题求解失败。

该问题也可扩展到N后问题求解，只需修改程序main函数中的n值即可。

代码如下：

/************************************************************************
*n后问题求解
************************************************************************/

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<conio.h>

#defineMAXNUMBER20

//判断当前得到的解向量是否满足问题的解
boolplace_queen(intx[],intk)
{
inti;
for(i=1;i<k;i++)
{
if((x[i]==x[k])||(abs(x[i]-x[k])==abs(i-k)))
returnfalse;
}

returntrue;
}

//将结果简单信息打印到屏幕
voidoutput_queens(intx[],intn)
{
for(inti=1;i<=n;i++)
printf("%3d",x[i]);

printf("");
}

//将结果详细信息写入文件
voidoutput_queens(FILE*fp,intnumber,intx[],intn)
{
fprintf(fp,"solution%d:",number);
for(inti=1;i<=n;i++)
{
for(intj=1;j<=n;j++)
{
if(j==x[i])
fprintf(fp,"1");
else
fprintf(fp,"0");
}
fprintf(fp,"");
}
fprintf(fp,"");
}

/************************************************************************
*n后问题求解
*input:n,thenumberofqueens
*output:thevectorofsolution,X
************************************************************************/
intn_queens(FILE*fp,intn,intx[])
{
intnCount=0;//解个数
intk=1;//先处理第1个皇后
x[1]=0;

while(k>0)
{
x[k]=x[k]+1;//在当前列加1的位置开始搜索

while(x[k]<=n&&!place_queen(x,k))//当前列位置是否满足条件
x[k]=x[k]+1;//不满足,继续搜索下一列位置

if(x[k]<=n)//若存在满足条件的列
{
if(k==n)//是最后一个皇后，则得到一个最终解
{
//break;//此处若break,则只能得到一个解
nCount++;
output_queens(x,n);//输出
output_queens(fp,nCount,x,n);
}
else//否则，处理下一个皇后,即第k+1个皇后
{
k++;
x[k]=0;
}
}
else//若不存在满足条件的列,则回溯
{
x[k]=0;//第k个皇后复位为0
k--;//回溯到前一个皇后
}
}

returnnCount;
}

intmain()
{
intn=8,x[MAXNUMBER]={0};

FILE*fp=fopen("8皇后问题的解.txt","w");
if(fp==NULL)
{
printf("cannotwirtefile!");
exit(0);
}

printf("thequeensareplacedonthecoloums:");
//求解并写入文件
intnCount=n_queens(fp,n,x);
printf("thereare%dsolutions!",nCount);
fclose(fp);
getch();

return0;
}

与其他方法对比：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define max 8
int queen[max], sum=0; /* max为棋盘最大坐标 */

void show() /* 输出所有皇后的坐标 */
{
int i;
printf("(");
for(i = 0; i < max; i++)
{
printf(" %d", queen[i]);
}
printf(")\n");
sum++;
}

int PLACE(int n) /* 检查当前列能否放置皇后 */
{
int i;
for(i = 0; i < n; i++) /* 检查横排和对角线上是否可以放置皇后 */
{
if(queen[i] == queen[n] || abs(queen[i] - queen[n]) == (n - i))
{
return 1;
}
}
return 0;
}

void NQUEENS(int n) /* 回溯尝试皇后位置,n为横坐标 */
{
int i;
for(i = 0; i < max; i++)
{
queen[n] = i; /* 将皇后摆到当前循环到的位置 */
if(!PLACE(n))
{
if(n == max - 1)
{
show(); /* 如果全部摆好，则输出所有皇后的坐标 */
}
else
{
NQUEENS(n + 1); /* 否则继续摆放下一个皇后 */
}
}
}
}

int main()
{
NQUEENS(0); /* 从横坐标为0开始依次尝试 */
printf("%d", sum);
system("pause");
return 0;
}